§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 8

где А — натяжение нашей браны.

Основное различие между моделями на бране и моделями типа Калуцы—Клейна состоит в том, что в первых материя в пятимерное многообразие «вводится руками», а в моделях второго типа существуют точные решения, которые приводят к возникновению материи (точнее, к ненулевому значению тензора энергии-импульса для материи) в четырехмерном пространстве [281,286,287]. BW-

(1.149)

модели изучались как в присутствии инфляционной стадии [216], так и в ее отсутствие [205].

Рассмотрим простейший вариант действия в мире на бране:

(1.150)

где К — внешняя кривизна. Анализируя космологические решения для действия в многомерном объеме, мы получим однородное и изотропное решение в четырехмерном пространстве-времени. Без ограничения общности можно рассматривать, что брана расположена в точке у = 0. Проанализируем метрику в конформных условиях, т. е. когда t, у — части метрики конформно плоские. В этом случае метрика может быть записана в виде [81]:

(1.151)

где V и В — произвольные функции. По теореме Биркгофа в общем случае однородная и изотропная метрика зависит только от одной переменной (и времени), т.е. в качестве переменных можно рассматривать переменные светового конуса:

(1.152)

В этом случае уравнения Эйнштейна выглядят следующим образом:

(1.153)

что означает В = B[U(и)+ V(v)] и е2" = B'U'V, где штрихованные величины обозначают производные по переменной, от которой зависят рассматриваемые функции. Без ограничения общности можно зафиксировать V(v) - v и полагая, что г = B^3, t = 3(v—U)

первое уравнение переходит в:

(1.154)

где h(r) = к — А/(6г2) — р/г2. Полученная метрика подобна шварц-шильдовской метрике в AdS-пространстве.

Обобщенное космологическое решение фридмановского типа уравнений ОТО в пространстве на пятимерной бране с учетом космологической постоянной Л имеет вид [168]:

(1.155)

где р — плотность материи на бране, первые три члена аналогичны членам фридмановского решения с добавлением космологической постоянной, четвертый член возникает из граничных условий на бране, так как все вещество сосредоточено на ней и к ~ 1 /А — обратно пропорциональна натяжению браны [80], р — константа, полученная при интегрировании пятимерного уравнения Эйнштейна (эффективно зависит от расстояния так же, как излучения, поэтому иногда этот член называется темным излучением). При малых энергиях доминируют только первые три члена, что позволяет рассматривать более поздние стадии эволюции Метагалактики с точки зрения стандартной фридмановской модели.

 

Другие части:

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 1

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 2

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 3

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 4

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 5

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 6

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 7

§ 9. Космологические модели в теории суперструн и «мир на бране». Часть 8