§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 3

(1.129)

где дц„ — метрический тензор пространства M4, A1x — калибровочное поле с U{\)-симметрией, аналогичное потенциалу в электродинамике, Ф — некое скалярное поле, что приводит к модификации (1.126) и выражению четырехмерных величин следующим образом:

где

— тензор электромагнитного поля, a в данном выражении является тензором энергии-импульса электромагнитного поля и выражается как

— см., например, [23]. Первое уравнение соответствует уравнениям ОТО, второе — уравнениям Максвелла для электромагнитного поля, а третье определяет условия, налагаемые на скалярное поле Ф. Естественно, когда теория Калуцы—Клейна только создавалась, еще не было понятия скалярного поля, и уравнения (1.130) записывались следующим образом:

(1.131)

В случае плоского пятимерного пространства (например, в космологии) интервал между событиями можно представить в виде:

(1.132)

где г,в,ф — обычные трехмерные координаты, t — время, I = ж4. Интервал (1.132) можно привести к виду, подобному метрике Фридмана— Робертсона—Уолкера (1.9)

(1.133)

если сделать следующую замену переменных:

(1.134)

а если при этом полагать, что добавка к тензору энергии-импульса (1.128) обладает свойствами идеальной жидкости с плотностью ркк и давлением ркк, т. е. Ткк = diag (ркк, -рКк, ~Ркк, ~Ркк), то свойства этой жидкости будут следующими:

что позволит интерпретировать эту добавку как сумму материальной и вакуумной частей. Уравнение состояния материальной части соответствует уравнению состояния рт = 0, а вакуумная часть отвечает уравнению состояния pv = Лу/(87г) = —р, т.е. в теории Калуцы—Клейна пятимерная метрика может индуцировать и материю, и вакуум:

(1.136)

Космологическая постоянная в этом случае (если все ее значение определяется плотностью энергии вакуума) естественным образом возникает в космологических уравнениях, и ее значение определяется характерным размером скомпактифицированно-го пространства.

Если же в (1.133) сделать замену переменных,

(1.137)

то (1.132) можно записать в де-ситтеровском виде:

(1.138)

что приводит к наличию только вакуумной части в добавке (1.128), свойства которой выражаются следующим образом:

(1.139)

т.е. (1.138) описывает вакуумно-доминантное космологическое решение на гиперповерхности А = const, в котором космологическая постоянная полностью индуцирована пятимерной метрикой.

 

Другие части:

§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 1

§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 2

§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 3

§ 7. Космология в модели Калуцы—Клейна. Часть 4