§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 2

(2.51)

для любой компоненты среды, если между компонентами нет обмена энергией. Как легко проверить, это соотношение эквивалентно термодинамическому тождеству

(2.52)

где, как обычно, E,T,S — полная внутренняя энергия (считая с энергией покоя), температура вещества и его энтропия в объеме V. Достаточно лишь считать, что расширение происходит адиабатически, так что dS = 0.

Если учесть, что давление темного вещества и барионов равно нулю, а давление релятивистской среды равно одной трети ее плотности энергии, то из последнего уравнения легко найти, как плотности вещества и излучения изменяются со временем при изменении его радиуса в ходе расширения или сжатия шара:

(2.53)

Здесь три величины С — произвольные постоянные интегрирования. Нетрудно сообразить, что первые два соотношения означают просто сохранение полной массы и полного числа нерелятивистских частиц в шаре; третье равенство означает сохранение в нем полного числа релятивистских частиц.

То же термодинамическое уравнение лишний раз показывает, что вакуум при его уравнении состояния pv = —pv должен иметь постоянную во времени плотность:

(2.54)

Есяи соотношения для плотностей всех четырех форм космической энергии подставить в записанное выше уравнение движения (2.46), то последнее можно один раз проинтегрировать по времени. Результат имеет вид:

(2.55)

Здесь E — произвольная константа интегрирования; точнее, это величина не зависит от времени, но является функцией полной массы шара. Радиус шара Д и сам, очевидно, зависит от массы шара; радиус играет роль эйлеровой координаты для частицы, находящейся на поверхности шара. При этом в качестве лагранжевой координаты частицы можно принять, например, массу барионов внутри рассматриваемого шара, — эта величина не меняется со временем для данной частицы.

Таким образом, основное уравнение стандартной космологической модели в представлениях ньютоновской механики аналогично одному из уравнений фридмановской космологии (1.7).

Во фридмановский космологии уравнение (1.7, выводятся из общей теории относительности однако в этом случае уравнение (1.7) также можно проинтегрировать один раз по времени, подставив в него предварительно соотношения для плотностей всех четырех форм космической энергии. После интегрирования оно имеет вид:

(2.56)

и именно об этом уравнении часто говорят как об уравнении Фридмана. Здесь a(t) — масштабный фактор, пропорционально которому изменяются все расстояния в расширяющемся мире; это то же самое, что и радиус R в ньютоновском рассмотрении. Но для моделей ненулевой пространственной кривизны величина а служит также и радиусом кривизны трехмерного пространства. Знак кривизны дается здесь величиной к = 1,0,-1 — для закрытой, плоской и открытой моделей, соответственно.

 

Другие части:

§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 1

§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 2

§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 3

§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 4

§ 5. Фридмановские интегралы. Часть 5